فعالیت صفحه 46 حسابان دوازدهم
در سال قبل با نمودار تابع گویای $f(x) = \frac{1}{x}$ آشنا شدیم. می‌خواهیم رفتار این تابع را در همسایگی راست $x = 0$ بررسی کنیم.
1. جدول زیر، رفتار تابع را به ازای برخی از مقادیر $x$ نشان می‌دهد. آن را تکمیل کنید.
| $x$ | $0.1$ | $0.01$ | $0.001$ | $0.0001$ | $\dots \to$ | $0$
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $f(x)$ | $10$ | $100$ | $1000$ | $\dots$ | $\dots \to$ | $\text{تعریف نشده}$
2. اگر بخواهیم $f(x)$ از یک میلیون بزرگتر شود، مقدار $x$ باید از چه عددی باید کوچک‌تر شود؟
3. وقتی $x$ با مقادیر بزرگتر از صفر به صفر نزدیک می‌شود، آیا مقادیر تابع به عدد خاصی نزدیک می‌شوند؟ چرا؟
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 46 حسابان دوازدهم
سلام! این فعالیت به بررسی مفهوم **حد بی‌نهایت** می‌پردازد. ما می‌خواهیم ببینیم که وقتی $x$ به یک مقدار خاص نزدیک می‌شود، مقدار تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ چطور تغییر می‌کند. این مفهوم، اساس تعریف **مجانب عمودی** است. 🚀
---
### 1. تکمیل جدول (همسایگی راست $x = 0$)
ما مقادیر $x$ را که همگی **مثبت** هستند، از سمت راست به صفر نزدیک می‌کنیم. چون $f(x) = \frac{1}{x}$ است، کافی است عکس هر مقدار $x$ را محاسبه کنیم:
* $\text{اگر } x = 0.0001 \text{، آنگاه } f(x) = \frac{1}{0.0001} = 10000$
* وقتی $x$ به صفر میل می‌کند، $f(x)$ به **بی‌نهایت** میل می‌کند.
| $x$ | $0.1$ | $0.01$ | $0.001$ | $\mathbf{0.0001}$ | $\dots \to$ | $0$
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $f(x)$ | $10$ | $100$ | $1000$ | $\mathbf{10000}$ | $\mathbf{\dots \to +\infty}$ | $\text{تعریف نشده}$
---
### 2. $f(x)$ بزرگتر از یک میلیون
ما می‌خواهیم بدانیم $x$ باید چه مقداری داشته باشد تا $f(x) > 1,000,000$ شود.
1. **نامساوی را تنظیم می‌کنیم:**
$$f(x) > 1,000,000$$
$$\frac{1}{x} > 1,000,000$$
2. **حل برای $x$:** چون در همسایگی راست $x=0$ هستیم، $x$ مثبت است، پس می‌توانیم نامساوی را بدون تغییر جهت در $x$ ضرب و بر $1,000,000$ تقسیم کنیم:
$$\frac{1}{1,000,000} > x$$
$$\text{یا } x < 0.000001$$
**پاسخ:** مقدار $x$ باید از **$0.000001$** (یک میلیونیوم) کوچک‌تر شود.
**نتیجه‌گیری:** هر چقدر $x$ را به صفر نزدیک‌تر کنیم، مقدار تابع می‌تواند از هر عدد بزرگی (مثلاً یک میلیون) بزرگتر شود.
---
### 3. نزدیک شدن $f(x)$ به یک عدد خاص
**پاسخ:** خیر. ❌
* **توضیح (چرا؟):** وقتی $x$ با مقادیر بزرگتر از صفر به صفر نزدیک می‌شود (یعنی $x \to 0^+$)، مقادیر تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ به جای نزدیک شدن به یک عدد نهایی $L$، به سمت **مثبت بی‌نهایت ($+\infty$)** میل می‌کنند.
* **اثبات:** همانطور که در بخش 2 دیدیم، به ازای هر عدد بزرگی که برای $f(x)$ در نظر بگیریم (مثلاً $M$)، می‌توانیم یک $x$ بسیار کوچک و مثبت پیدا کنیم که $f(x)$ از $M$ بزرگتر شود (به طور خاص $x < \frac{1}{M}$). این یعنی هیچ عدد نهایی‌ای وجود ندارد که مقادیر تابع به آن "چسبیده" باشند.
**نتیجه:** در این حالت می‌گوییم **حد تابع، مثبت بی‌نهایت** است و می‌نویسیم:
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$$
